Největší a nejmenší součet

Chat
Email
Poznámkový blok
Doprovodné materiály Informace o videu

Písemné provádění čtyř základních aritmetických operací je tradiční součástí prvostupňové matematiky. Při probírání algoritmů písemného počítání se většinou zaměřujeme na postupy počítání, „recepty“ na nalezení výsledku, protože chceme najít rychle správným výsledek. Praktický význam tohoto přístupu v praxi postupně ustupuje. Nicméně algoritmy jsou založeny na vlastnostech operací a mohou se stát příležitostí k tomu, abychom aritmetickou operaci lépe pochopili.

Při písemném sčítání jsou důležitá jen dvě pravidla:

  • a sčítance zapisujeme pod sebe. To nám pomůže sčítat snadno se orientovat v zápise delších čísel a sčítat čísla v odpovídajících řádech. Při počítání nahlas ani neříkáme, že sčítáme např. desítky.

  • Počítáme od jednotek. Může se stát, že nám v některém řádu vyjde dvojciferné číslo (tzv. počítání s přechodem přes desítku). Počet jednotek takového součtu napíšeme do daného řadu, desítku přičteme k následujícímu vyššímu řádu.

Pokračovat

Obrázek z české učebnice (převzato z knihy M. Bečvářové Středověké početní postupy, která je dostupná na http://dm1/cz/401788 .

Na prohloubení porozumění písemnému sčítání jsme připravili sekvenci úloh. Žák sestavuje čísla a pozoruje jejich součty.

Pro podporu samostatné práce žáků jsme vytvořili pracovní list. Link na PL_Největší a nejmenší součet.pdf

Úkol:

Pokračovat

Řešení sekvence úloh umožňuje, aby žáci absolvovali některé fáze badatelského cyklu. Podle našeho soudu to jsou kroky 2. – 9. v připojeném schématu. Většina žáků začne úlohu řešit tak, že bude experimentovat s různými trojicemi čísel – zpočátku nahodile, později systematicky (3. – 5. krok). Výsledky jednotlivých „experimentů“ budou žáci zapisovat do pracovního listu, porovnávat a vyhodnocovat (5. – 7. krok).

Postupně žáci dojdou k závěru, že některý ze součtů, které našli, je největším možným součtem (7. krok) a tento závěr podle zadání 2. úlohy odůvodní. Podle pokynů ve 3. úloze si vyzkouší, zda jejich odůvodnění funguje (8. krok).

Ve společné diskuzi s učitelkou a spolužáky by měla být nová znalost institucionalizována.

Pokračovat

Experimentování s čísly můžeme podpořit tím, že žáci skutečně pracují s kartičkami s čísly. (K vystřižení na pracovním listě Kartičky.) Podporu systematickému provádění experimentů může poskytnout schéma, do kterého žáci kartičky pokládají. Rozložení si zapisují do pracovního listu. Výpočty také provádějí v pracovním listu. (PL_schéma).

Úkol:

Pokračovat

Závěry experimentování s čísly žáci formulují jako odpověď na druhou úlohu. Měli by si uvědomit souvislosti mezi písemným počítáním a zápisem čísla v desítkové soustavě. V pozadí písemného počítání je rozdělení čísla násobky stovek, desítek a jednotky a počítání s každým řádem zvlášť. Chceme-li největší součet, musí být počet stovek vyjádřen největšími čísly (8 a 9), počet desítek menšími (7 a 6) a počet jednotek ještě menšími (5 a 4).

Pokračovat

Při sčítání platí komutativní zákon, tj. můžeme měnit pořadí sčítanců a součet se nemění. Na místě stovek máme 2 číslice, které vedou k největšímu součtu, na místě desítek také 2 a dvě možnosti jsou i u jednotek. Celkem máme 8 možností (2 x 2 x 2). V přiložené ukázce je vidět, že žák pracoval systematicky; postupně měnil pořadí číslic.

(Dvě řešení úlohy zde chybí. Záměrně jsme do pracovního listu nedali přesný počet rámečků.)

Pokračovat

Bádání pokračuje podobnou úlohou, při jejímž řešení žáci mohou použít to, co si uvědomili při řešení 1. – 3. úlohy.

Žáci hledají odpovědi na otázky: Jaká čísla budou vyjadřovat počet stovek, když má být součet co nejmenší? Jaký bude počet desítek? Která čísla nám zbývají na vyjádření počtu jednotek?

Pokračovat

Závěrečná diskuze se žáky by měla vypíchnout tyto závěry:

  • Při písemném sčítání sčítáme čísla v každém řádu „samostatně“.

  • Při sčítání můžeme zaměňovat sčítance a nemění se součet. Při písemném sčítání můžeme zaměňovat čísla v řádech. Vzniknou nám jiní sčítanci, ale součet je beze změny.

  • V každém řádu mám možnost použít 2 čísla. Celkově to je 8 možností, protože počty možností násobíme (na místě stovek můžeme použít dvě čísla, každé z nich má 2 možnosti na místo desítek; to znamená, že mám již 4 možnosti; každá z nich má dvě možnosti na místě jednotek).

Pokračovat

V závěru pracovního listu chceme podpořit sebehodnocení žáků.

Pokračovat

Dobrým pokračováním může být řešení úlohy, ve kterém za stejných podmínek hledáme nejmenší a největší rozdíl. Úloha je rozpracována zde v sekci Úlohy.

Můžeme také žákům dát prostor na vytvoření podobné úlohy. Ta může být o sčítání dvojciferných čísel, případně zařazená kartičky s čísel 0, sčítání 3 sčítanců.

Jak se změní počet řešení úlohy, když budeme mít také kartičku s číslem 0?