Výpočet obvodu a obsahu pravoúhelníků v praxi (didaktická analýza výuky)

Video
Titulky
Učitelka
Nás dneska čeká takové velké překvapení.
Učitelka
My se budeme bavit
Učitelka
o takových dvou věcech,
Učitelka
které možná někdo z vás někdy i použije
Učitelka
v životě například.
Učitelka
A jedna ta věc, nebo to jedno slovo je obvod
Učitelka
a druhé slovo je obsah.
Učitelka
Tak a teď mám pro vás bojový úkol,
Učitelka
vy si vyndáte stírací tabulky
Učitelka
a zkusíte mi vymyslet,
Učitelka
kde všude ten obvod a obsah najdete.
Učitelka
Kde všude ten obvod a obsah...
Žákyně
My začneme asi obvodem
Žákyně
a my jsme si tam napsaly rámeček kolem té fotky...
Žákyně
Máme takhle fotku a kolem toho rámeček,
Žákyně
tak to je ten obvod.
Učitelka
Ten rámeček, ten dřevený?
Učitelka
A když ho půjdeš kupovat do obchodu,
Učitelka
tak jsou tam ty rámečky opravdu,
Učitelka
že je tam napsaný třeba obvod rámečku?
Žáci
Ne
Učitelka
A jak ho budete kupovat?
Žák
Na obsah, jako kolik se tam toho..
Učitelka
Jak budeš kupovat ten rámeček?
Žáci
Spíš na obsah.. na obsah.
Učitelka
Na obsah? Na obsah...
Učitelka
Když půjdu koupit tento rámeček?
Učitelka
Tak jestli jsem dobře Nelince rozuměla...
Učitelka
...tak to je co tohle? Ten rámeček?
Učitelka
To je obvod.
Učitelka
A to je obsah.
Učitelka
Ale když budu v obchodě, tak tam někde najdete rámeček o obvodu 25 centimetrů?
Žáci
Ne.
Učitelka
O obsahu 16 centimetrů čtverečních.
Učitelka
Jak to koupíš?
Žákyně
Že třeba spočítáme, kolik je 30 krát 20 centimetrů.
Učitelka
A to je co?
Žáci
(odpovídají nahlas přes sebe)
Učitelka
No, no a to je co?
Učitelka
Takže to jsou...roz...mě... (žáci doplní nahlas).
Učitelka
Rozměry toho rámečku.
Učitelka
Výborně, takže pozor na to, dobře jste vysvětlili, co je obvod,
Učitelka
ale v obchodě budu nakupovat podle rozměrů,
Učitelka
podle délky stran toho obrázku.
Učitelka
Výborně. Super.
Učitelka
Tak jdeme dál.
Učitelka
Ještě máte něco?
Žákyně
Ještě máme obvod, jakoby když máme zahradu a chci jí oplotit,
Žákyně
tak jakoby jak dlouhý potřebuju plot.
Učitelka
Výborně. Dobře. Děkuji.
Učitelka
Kluci!
Žák
Tak my máme křídlo tabule a to máme na obsah, abysme...
Učitelka
Pojďte mi to ukázat a vysvětlit.
Žák
I když to se spíš měří na úhlopříčky, aby jsme věděli,
Žák
jak je ta tabule velká, aby se nám vešla na tu zeď.
Učitelka
No, tak tabule na úhlopříčky nebude.
Učitelka
Ale spíš televize.
Učitelka
Monitory budou na úhlopříčky.
Učitelka
Jo a když jsme u té tabule
Učitelka
a já si budu chtít pořídit novou tabuli, tak co budu řešit?
Učitelka
Obvod, obsah anebo rozměry?
Žáci
Rozměry.
Učitelka
Rozměry, jo, rozměry.
Učitelka
Dobře, děkuji.
Učitelka
Ještě nějaký tip?

My máme dveře jako příklad obvodu a je to na to že...

Klidně pojď ke dveřím ukazovat.

Protože, mně když řekneš dveře, tak já si představím dveře.

Když mám barák a ještě tam nemám dveře, tak musím změřit

tady ten rám, aby se nám tam ty dveře vešly.

A je to opravdu obvod?

Ne, to je obsah.

Je to opravdu obsah?

Tak diskutujte...

Takže tady dáme, kdo je pro obvod

a tady dáme kdo je pro obsah

a tady budou rozměry.

Pojďte, pojďte.

Obvod, rozměry, obsah.

A kdo neví, zůstává sedět na místě.

Jo? Nic se neděje.

A postavte se tak, abyste na sebe viděli, ano?

Takže dveře je obvod, prostředek jsou rozměry a u oken je obsah.

Tak prosím, kdo je pro obvod,

tak nechť začne mluvit.

Proč si myslíš, že budu potřebovat obvod dveří, když půjdu nakupovat do nového domu dveře nové?

Protože ty dveře...musím vlastně změřit tady to...?

No, mluv, všechno co řekneš, tak je dobře, neboj se.

Musím změřit tu zeď kolem těch dveří, aby jsem věděla, jak velký mají být ty dveře.

Takže to je Natálky názor, děkuji.

Tak prosím obsahy, aby vyjádřili svůj názor.

My si myslíme, že to bude právě obsah, protože podle nás si myslíme, že potřebujeme vypočítat tu rovinu, aby jsme věděli, jak velký ty dveře mají bejt.

"Tu plochu?

Tu plochu.

Mhmmm


Děkuji za názor.

A prosím rozměry, aby se k tomu vyjádřily.

Vyberte jednoho.

Já si myslím, že to rozměry musí bejt, protože když si počítáme třeba ten obvod, tak to může bejt, že třeba jedna strana bude krátká a druhá naopak hodně dlouhá.

To úplně nevím, jestli tomu rozumím, jak to myslíš.

Proč ty rozměry?

Ještě zkuste, rozměry, doplnit.

Aby se vešly ty dveře vůbec do těch rámů.

Aby se jako vešly, aby jakoby jak je délka těch dveří, aby se vešla, potom jakoby šířka a ještě dole šířka.

Aha, dobře. Tak, budeme se přemisťovat?

Jak? Obvod si stojí za obvodem, obsah si stojí za obsahem a rozměry si stojí za rozměry.

Já bych od vás teda chtěla slyšet a nebo ukázat prstem... Natka je tu sama za obvod, aby mi ukázala, co je to vlastně obvod.

U těch dveří.

Ukaž mi, co všechno budeš měřit, když budeš...

Výborně, super.

Obsah, prosím...pojďte mi ukázat, co je obsah.

Dobře, dobře a poprosím rozměry, aby mi ukázaly co jsou rozměry.

Já už to přivřu.

Kdybysme změřili jenom jakoby tohle a tohle a už víme, jakoby kolik má jaká strana.

Pořád jste se nepřesvědčili?

Tak fajn.

Natka ukázala správně, co je obvod.

Kluci ukázali správně, co je obsah.

A skupina rozměrů, Fíďa, ukázal správně, co to jsou to vlastně rozměry.

Tak...a mě by teď zajímalo a vy všichni jste zkusili odhadnout, plus mínus, jak ty dveře jsou asi široké, jak jsou vysoké. Odhneme obvod. Odhadneme obsah.

A budeme jenom tipovat a dáme to asi jenom přibližně na metry, ať se nám to počítá dobře. Ano? Protože to bychom asi nezvládli.

Tak tipovačka. Tak a mě ještě napadlo, Kryštůfku nebo Máro, prosím tě podej mi...přesně tak. Přesně tak.

Ať se vám to tipuje líp. Tak děkuji. Tady máte jeden metr, abyste ten odhad měli přesnější.

Takže šířka dveří...

Metr.

Přibližně, budeme si to zaokrouhlovat.

Tipněte výšku těch dveří.

Dva metry.

Pojďte zkusit.

Přibližně dva metry. (opakují přes sebe)

Super. Super. Výborně. Takže máme rozměry našich dveří. Jeden rozměr je jeden metr a druhý rozměr jsou dva metry.

Natko, jaký je tvůj odhad? Ty jsi říkala, že budeš nakupovat podle obvodu dveří, takže jaký je obvod dveří?

Kdyžtak Natálce pomožte s výpočtem.

Šest...

Čeho?

Metrů.

Šest metrů. Jak jsi to spočítala?

Tady ta strana je dva metry, tady ta strana je taky dva metry, takže 4 metry a tady je 2.

Výborně. Super. Takže pamatujeme si, že náš obvod dveří má přibližně 6 metrů.

Kluci. Obsah. Co váš obsah?

Tři metry čtvereční?

Jo?

Počkej, ne dva. Dva.

Jak počítáme obsah?

Dva metry krát jeden. Takže jeden krát dva.

No, neboj se.

Jeden krát dva. Dva metry čtvereční.

Dva metry čtvereční.

Tak a teď jsem v tom obchodě a nakupuju ty dveře

A co ta skupina rozměrů? Ty přijdou do obchodu a budou chtít co?

Fíďo?

Budeme chtít jakože délku, potom šířku.

Pojď ukazovat.

Řeknem tu délku takovou a šířku.

No, no a řekněte to nahlas.

Že potřebujeme dveře o velikosti dva krát jeden metr.

Co vlastně Natka počítala?

Obvod.

No a co je to ten obvod?

To je celý to dohromady, ty strany.

No a co to vlastně je ten obvod?

Hele koukej jeden metr, tady si stoupne Natálka. To je jedna šířka. Nelinka jde na druhou šířku. Hm, šup. To je druhá šířka.

Že vlastně ty metry jdou za sebou...do jedný přímky.

Přímka nemá začátek a konec, ale...jdou vlastně do jedné celé délky a my si to tu můžeme znázornit jako úsečku, která začíná Natálkou a máme už celý obvod?

Ne? Tak ho pojďte dokončit.

Pojďte ho dokončit. Máme dvě šířky, dvě šířky a co dáváme dohromady?

Je to dobře?

Ne.

Anička by měla jít ještě o metr dál?

Ano.

Je to dobře? Je to dobře? Přemýšlej. Už pracujte všichni.

Tady musí být dva metry.

Jo.

Teď je to dobře?

Ne, ještě ne.

Ještě dva metry. Anička má být dva metry a...

Tak. Teď je to dobře?

Jo.

Jo? Opravdu? Teď je to dobře? Teď je to dobře? Fíďáku.

Anička má být dva metry a Klárka jeden metr.

A proč?

Protože támhleta šířka se...

Poslouchej, zatím se neměň a poslouchej jenom...

No, Fíďo, mluv.

Jakože šířka, šířka a potom ty dvě délky po sobě.

A může to být i jinak?

Jo, může.

A jak?

Musí být šířka, šířka, délka, délka? Nebo výška, výška. Musí to tak být?

Ne nemusí.

Tak jak to může být ještě?

Tak teď už je to dobře, nebo to není dobře?

Je.

Máme tu dvakrát každý rozměr?

Jo.

Ano? Tak, kdo představuje jeden metr?

Tak známe se jmény, tak kdo přestavuje jeden metr?

Natka a Lia...

A kdo je ten druhý metr?

Aha, Alenka, Anička. To jsou ty šířky těch dveří.

A teď na výšku, jak jsou ty dveře vysoké? To představuje kdo?

Anička, Klárka a? .... Natálie. Tak super.

Tak a Natálko a to je tvůj obvod. Takže tohle to ty chceš po paní prodavačce. To je viď?

Jsme pořád v těch třech skupinkách a já se ptám. Je ještě někdo, kdo by chtěl přestoupit z jiné skupiny a proč tam přestupuje případně by chtěl říct?

Fílo?

Já bych chtěl přestoupit k rozměrům, protože ten vlastně, protože to dává největší smysl. Protože já potřebuji ty dveře a řeknu obsah, tak to můžou být položený třeba takhle a pak by byly obráceně, ale když mám rozměry dva krát jedna metr, tak to bude tak jak to chci, jakože to bude rovně.

Takže máš takový důvod. Natálko?

Já bych chtěla přestoupit a říct, že to, co jsme tu ukazovali s tím obvodem, tak to není to, co by jsme měli říkat té paní prodavačce. A ten rozměr je největší logika, co jí říct.

A já teďko poprosím ještě, aby si holky nastoupily na ten obvod, jak jsme ho tady znázorňovali. Natálka si pamatuje, kde byl začátek?

Tady na té čáře.

A Klárka, kde byl konec?

Tak a poprosím, aby třeba Anička udělala krok vpravo, Alenka, aby udělala malý krůček vlevo a Nelinka, aby udělala malý krůček třeba doprava.

Je to furt stejný.

Ten začátek a ten konec je pořád stejnej.

A kupuju, teď dveře stejných rozměrů?

Ne. Ne.

Co teď kupuju? Co to bude? Nějaký čtyř...ú...hel...ník, protože my máme přesné rozměry.

To znamená... na co jste vlastně přišli?

Na co jste vlastně přišli?

Že když se něco měří, co má být v něčem, tak se to měří na ty rozměry, takže když si to budu chtít koupit, tak neřeknu, že to má obvod 6 metrů, ale řeknu, že je to jedna krát dva metry. To znamená dva metry takhle a takhle a jeden metr takhle a takhle.

A proč to musím říct?

To je i u toho rámečku s tou fotografií, to je pořád jedno a to samé. Nemusí to být jenom dveře. Proč to tak musíte říct?

Aby jsme řekli ten tvar dveří?

No a mluvte nahlas.

Aby jsme řekli, jak velký má být ten tvar dveří?

Dalo by se to tak říct, dobře. Tak děkuji...
Chat
Email
Poznámkový blok

Úloha

Kde všude v praxi najdete obvod a obsah?

 

Úkol pro uživatele: Předtím, než budete pokračovat, odhadněte odpovědi žáků.

Spustit video


Zadání úlohy

 


Didaktická analýza (DA) 

Zaměříme se na didaktickou analýzu obsahu úlohy. Budeme uvažovat ve třech úrovních:

  • o konceptech oboru (pojmech a jejich vztazích), které nabízí matematika jako východisko řešení úlohy;
  • o zkušenostech žáků (školních i mimoškolních), které je užitečné při řešení úlohy aktualizovat;
  • o dlouhodobých cílech, ke kterým výuka směřuje.

Pro znázornění použijeme konceptový diagram.



Pokračovat


Uvažování o úloze začneme od konceptové vrstvy výuky. Uvědomíme si, které klíčové pojmy mají žáci ve výuce zvládnout, aby porozuměli učivu. V centru jsou pojmy obvod a obsah (co znamenají, jak se vypočítají). S tím souvisí vlastnosti geometrických útvarů, u nichž je zjišťujeme. V případě této výukové situace jsou to čtverec a obdélník a shodnost délek jejich stran. Celá výuková situace souvisí s instrumentalizací zkušeností řešitele úlohy (s matematizací).

Úkol pro uživatele: Které z nabízených pojmů byste zdůraznili? Které byste naopak potlačili?

Doplnili byste do schématu další pojmy? Které?

Pokračovat

Do tematické vrstvy patří různé žákovy zkušenosti s obvodem a obsahem čtverce a obdélníku jak získané ve škole (řešením rozmanitých obsahově souvisejících úloh), tak mimo školu (řešení problémů vznikajících v životní praxi).  

Úkol pro uživatele: Doplnili byste do tematické vrstvy další pojmy?

Pokračovat

Kompetenční vrstva úlohy zahrnuje dlouhodobé cíle (oborové i nadoborové), k jejichž dosažení může řešení úlohy přispět. Ve schématu jsou uvedeny některé z nich.

Úkol pro uživatele: Doplnili byste do kompetenční vrstvy další cíle?

Pokračovat

Diskuze o řešeních navrhovaných žáky

V další ukázce učitelka diskutuje se žáky řešení úlohy, které si v krátké samostatné práci připravili.

Diskuze je vedena s cílem propojit zkušenosti žáků z běžného života s tím, co se učí ve škole. Prohlubuje se tím porozumění pojmům obvod a obsah. Očekávaný průběh diskuze lze znázornit schématem propojení konceptové a tematické vrstvy. Učitelka vrací pozornost žáků k porozumění základním pojmům (konceptové vrstvě). Žáci reflektují, co znají a jak je jejich poznání využitelné.

Návrhy žáků jsou během diskuze přijímány, upravovány, nebo zavrhovány. Učitelka pomáhá žákům posoudit jejich správnost. Pro porozumění žákovským prekonceptům a představám je důležitý dostatečný čas na evokaci myšlenek a na to, aby žáci dokázali svoje myšlenky zformulovat.

Pokračovat ve videu

Diskuze o řešeních úlohy navrhovaných žáky

Pokračovat

Konceptový diagram


Organizace diskuze

Řízení diskuze žáků je pro badatelskou výuku klíčovým prvkem. Pro učitele i žáky je zdrojem informací o tom, jak dosud probíhalo učení se jednotlivých žáků, poskytuje důležité informace pro rozhodování o dalších krocích ve výuce.

V diskuzi učitelka poskytuje žákům okamžitou zpětnou vazbu, která slouží k (a) k rozpoznání chybných představ (miskoncepcí) žáků, (b) k nasměrování žáků ke správnému porozumění nebo (c) k vysvětlení nejasného.

Sledujte, jak v pokračování hodiny učitelka diskuzi usměrňuje ve chvíli, kdy žáci navrhnou, že obvod a obsah se používá také při nakupování dveří. 

Pokračovat

Konceptový diagram

Organizování diskuze žáků


Diskuze

podporuje vzájemné učení.  Možnost zpřesňovat a doplňovat odpovědi spolužáků podporuje prohlubování porozumění  užívaným pojmům. Žákovský jazyk je tady výhodou. Oceňují ho jak žáci (když mi to říká spolužák, lépe rozumím), tak učitelé (žáci si dovedou poradit a vysvětlit si věci velmi přístupným způsobem).

Při zpřesňování obsahu pojmů se mohou ukázat problémy spojené s tím, že žáci sice pojmu rozumí, ale nedovedou ho používat v jiných kontextech, případně jej nedovedou zařadit mezi pojmy a prekoncepty, kterými již disponují.

Pokračovat


Obvod, obsah, rozměry

 Diskuze v předchozí ukázce se točí okolo použití obvodu, obsahu a rozměrů útvaru. Je třeba si uvědomit, že zjištění rozměrů předchází jak určení obvodu, tak i obsahu obrazce. Rozdělení žáků na tři skupiny (obvod, obsah, rozměry) mohlo vytvořit dojem, že se jedná o souřadné pojmy.


Úkol pro uživatele: Promyslete, co musíme znát, aby obdélník či čtverec byl dán jednoznačně (rozměry, obvod, obsah)?

Pokračovat

Porozumění pojmům

Správné používání pojmu předpokládá doplnění porozumění tím, že se žáci vrací k definičním charakteristikám, prozkoumávají správné příklady pojmu a příklady, které daným pojmem nelze označit, a potom znovu vytvářejí a analyzují hypotetická použití pojmu.

V následující ukázce učitelka vede žáky k poznatku, že v mnoha případech v praxi je důležitý tvar předmětu, který je dán jeho rozměry.

Pokračovat ve videu

Nová úloha

Žáci řeší novou úlohu (která nebyla v hodině přímo formulovaná): Mohou mít obdélníky, které mají stejný obvod, různý tvar?

Učitelka nabízí různé reprezentace obvodu a obsahu: numerický model, grafický součet úseček pro obvod, které mají žáky podpořit ve formulaci závěru, že obvodem (ani obsahem) rovinného útvaru není dán jeho tvar jednoznačně.

Úkol pro uživatele: Navrhněte další možnosti reprezentace, které by učitel mohl použít, aby žákům ve formulaci závěru pomohl?

Příklady řešení úkolu:

  • Je např. možné použít provázek, jehož konce svážeme. 4 (3) žáci uchopí provázek na různých místech a natáhnou jej. Tím vymodelují čtyřúhelník (trojúhelník). Jiní 4 (3) žáci dostanou za úkol uchopit provázek na jiných místech, natáhnout jej. Učitel se ptá žáků, co pozorovali.
  • Žáci dostanou za úkol zakreslit ve čtvercové síti obdélník, jehož obvod je 18 cm. Kolik takových obdélníků je možné nakreslit.
  • Žáci dostanou za úkol nakreslit ve čtvercové síti čtyřúhelník, jehož obvod je 16 cm. 


Nový pojem (soumeznost) v konceptové vrstvě

Řešení nové úlohy se opírá o pochopení extenzity (rozlehlosti) a koextenzity (soumeznosti) tělesa. Tyto pojmy si vytvářejí již velmi malé děti, když se při hře pokoušejí vložit tvar (např. krychli, válec, kříž) do odpovídajícího výřezu. Tím získávají přirozenou zkušenost s rozlišováním a tříděním těles podle tvarů. Bez této předběžné zkušenosti by vůbec nemohli začít chápat geometrii. K chápání (ko)extenzity také směřují činnosti s některými pomůckami M. Montessori.

Diskuze, která se ve třídě uskutečnila, se o chápání těchto pojmů opírá. Rozšířili jsme o ně konceptovou vrstvu.

Pokračovat ve videu


Institucionalizace

V badatelsky orientované výuce je na závěr nutné shrnout, co žáci objevili. Stejně tak v závěru diskuze učitele se třídou je nutné zformulovat závěr. V literatuře se používá termín institucionalizace, který zjednodušeně říká, že závěry diskuze (bádání) označíme jako znalost hodnou zapamatování.

V ukázce ze závěru řešení naší úlohy je vidět, že učitel může i formulování závěrů nechat na žácích.


Jak pokračovat?

K poslední fázi řešení úlohy, institucionalizaci, může napomoci diskuze, při které budeme rozebírat různé možné odpovědi žáků. Podnětem může být komiks (v AJ concept cartoon). Žáci si při diskuzi o tvrzeních jednotlivých dětí v komiksu zpřesňují své vyjadřování i porozumění.

Pokračovat


Co dál?

Tento komiks by se mohl stát podnětem k badatelské aktivitě žáků, kterou lze podnítit například následujícími úlohami.

Víme, že obvod pravoúhelníka je 24 cm. Jaké jsou jeho rozměry? (Počítej v celých cm.)

Mají pravoúhelníky se stejným obvodem také stejný obsah? (Počítej jen se stranami pravoúhelníků v celých cm.)